확률과 통계 내가 직접 만들어 보는 확률과 통계

조건부확률 사건의 독립과 종속

한 개의 동전을 2번 던지는 시행에서 첫 번째에 앞면이 나오는 사건을 $A$, 두 번째에 앞면이 나오는 사건을 $B$라 하면 사건 $A$는 사건 $B$가 일어날 확률에 영향을 주지 않는다. 즉, $$ P(B~|~A)=P(B)$$ 이다.

사진안떠요!

이와 같이 두 사건 $A,B$에 대하여 $$ P(B~|~A)=P(B)$$ 일 때, 두 사건 $A,B$는 서로 독립이라 하고, 서로 독립인 두 사건을 독립사건이라 한다. 즉, 두 사건 $A,B$가 독립이란 어느 한 사건이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 미치지 않는 다는 것이다.

한편, 두 사건 $A,B$가 서로 독립이 아닐 때, 두 사건을 서로 종속이라 하고, 서로 종속인 두 사건을 종속사건이라 한다.

고등학교 확률과 통계 P.114 (천재교육, 이준열외 9인)

독립사건의 곱셈정리

두 사건 $A,B$가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은 $$P(A \cap B) =P(A)P(B)~(단, P(A)>0, P(B)>0) $$

문제풀어보기

어느 반 학생 중 60%는 남학생이고, 40%는 여학생이다. 남학생 중 30%는 등교할 때 대중교통을 타고, 여학생 중 40%는 등교할 때 대중교통을 탄다. 대중교통을 탄 학생을 임의로 선택할 경우 이 학생이 남자일 확률은?

풀이(Click)

남학생일 사건을 $A$, 대중교통을 타는 사건을 $B$라고 하면
주어진 조건에서 $P(A)=0.6$ , $P(B~|~A)=0.3$, $P(B~|~A^c)=0.4$ 이다.
이때 구하는 확률은 $P(A~|~B)$ 이다.
$P(A \cap B)= P(B~|~A) P(A)$ , $P(A^c \cap B)= P(B~|~A^c) P(A^c)$ 이므로,
$P(A \cap B)= 0.3 \times 0.6$ , $P(A^c \cap B)= 0.4 \times 0.4$ 이다.
따라서 구하는 확률은 $$P(A~|~B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(A \cap B)+P(A^c \cap B)}= \frac{9}{17}$$

정답 $\frac{9}{17}$

실험해보기

  1. 위의 문제를 실제 실험하여 보자. 파일을 열면 아래와 같은 그림을 볼 수 있다. 사진안떠요! P,Q,R 을 적당한 사건을 나타낸다고 가정하고, P,Q,R 이 일어날 확률을 위의 문제와 같이 설정하자.
    한번 실행할 때 뽑는 수(반인원)와 이러한 실행을 몇번(반개수)를 설정하고 실험하기를 클릭해보자. 오른쪽 표에 임의로 추출했을 때 나오는 경우의 수가 막대로 표시되고, 왼쪽 하단에는 그 수가 표시된다. 이때, 위의 문제에서 구한 확률에 해당하는 값을 표에서 계산하여 보자. 수학적 확률과 통계적 확률 값을 서로 비교해보자.(단, 반은 8개이하 한반은 30명이하로 제한되어 있다.)
  2. 확률을 변화시키면서 결과값을 확인해보자.
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