확률과 통계 내가 직접 만들어 보는 확률과 통계

정규분포 정규분포의 정의

물체의 길이,무게 또는 강수량 등과 같이 자연 현상이나 사회 현상에서 나타나는 연속확률변수의 확률밀도함수의 그래프는 좌우 대칭인 종 모양의 곡선에 가까운 경우가 많이 있다.

확률변수 $X$가 모든 실숫값을 가지고, 그 확률밀도함수 $f(x)$가 $$ f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{- \frac{(x-m)^2}{2\sigma ^2}} ~(m\text{은 상수}, \sigma \text{는 양의 상수}, x\text{는 모든 실수} )$$ 일때, $X$의 확률분포를 정규분포라 하고, 기호 $$ \color {red}{ N(m, \sigma ^2)}$$ 으로 나타낸다. 여기서 $e$는 $2.7182818\cdots$인 무리수이고, $m$과 $\sigma$는 각각 $X$의 평균과 표준편차임이 알려져 있다.

정규분포의 확률밀도함수의 그래프는 다음 그림과 같이 직선 $x=m$에 대하여 대칭인 종 모양의 곡선이고, 점근선은 $x$축이다. 이미지 없음

평균 $m$이 일정할 때에는 <그림1>과 같이 $\sigma$가 커지면 그래프는 양쪽으로 퍼지고, $\sigma$가 작아지면 그래프는 뾰족하게 된다.
또, 표준편차$\sigma$가 일정할 때에는 <그림2>와 같이 평균$m$이 변하면 대칭축의 위치는 바뀌지만 그래프의 모양은 변하지 않는다.

정규분포의 확률밀도함수의 그래프의 성질

  1. 직선 $x=m$에 대하여 대칭이다.
  2. $x=m$에서 최댓값 $\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}$을 가지고, 점근선은 $x$축이다.
  3. 그래프와 $x$축 사이의 넓이는 1이다.
  4. 평균 $m$이 일정할 때, 표준편차 $\sigma$가 커지면 그래프는 양쪽으로 퍼지고, $\sigma$가 작아지면 그래프는 뾰족하게 된다.
  5. 표준편차 $\sigma$가 일정할 때, 평균$m$이 변하면 대칭축의 위치는 바뀌지만 그래프의 모양은 변하지 않는다.
고등학교 확률과 통계 p.157 (천재교육, 이준열외 9인)

특히, $m=0$이고 $\sigma =1$인 정규분포 $\color{red}{ N(0,1)}$을 표준정규분포라 한다.

실험해보기

다음 실험파일은 평균과 표준편차를 설정한 4개의 정규분포 그래프를 비교하여 보여준다. 다음을 실행해보자.
  1. $m$에 따라 확률분포가 어떻게 변하는 지 확인해보자.
  2. $\sigma$에 따라 확률분포가 어떻게 변하는 지 확인해보자.
  3. 표준정규분포의 확률분포를 확인해보자.
실험파일(Click)