확률과 통계 내가 직접 만들어 보는 확률과 통계

몬티홀 문제 조건부확률과 베이즈의 정리

몬티 홀 문제(Monty Hall problem)는 미국의 TV 게임 쇼 《Let's Make a Deal》에서 유래한 퍼즐이다. 퍼즐의 이름은 이 게임 쇼의 진행자 몬티 홀의 이름에서 따온 것이다. 퍼즐의 내용은 다음과 같다.

세 개의 문 중에 하나를 선택하여 문 뒤에 있는 선물을 가질 수 있는 게임쇼에 참가했다. 한 문 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있다. 이때 어떤 사람이 예를 들어 1번 문을 선택했을 때, 게임쇼 진행자는 3번 문을 열어 문뒤에 염소가 있음을 보여주면서 1번 대신 2번을 선택하겠냐고 물었다.
참가자가 자동차를 가지려할 때 원래 선택했던 번호를 바꾸는 것이 유리할까? (단,이때 진행자는 자동차와 염소가 어떤 문에 있는지 알고 있기 때문에, 진행자가 자동차가 있는 문을 여는 일은 절대 발생하지 않는다)

사진안떠요!

위키피디아(https://ko.wikipedia.org/wiki/몬티_홀_문제)

질문1

몬티홀 문제에서 선택을 바꿀것인가 유지할 것이가? 각각의 경우 당첨될 확률은 얼마인가?

풀이(Click)

풀이1
몬티 홀 문제에서 참가자는 선택을 바꾸는 것이 유리하다. 처음 선택한 번호를 바꾸지 않을 때 자동차가 있는 문을 선택할 확률은 1/3이지만, 처음 선택한 번호를 바꾸면 확률은 2/3으로 증가한다. X를 자동차가 있는 문의 번호, Y를 참가자가 처음 고른 문의 번호, 진행자가 연 문의 번호를 M이라고 하자. 참가자가 1번 문을 골랐을 때 사회자가 3번 문을 열었다고 가정하자. 선택을 바꾸었을 경우, 2번 문 뒤에 자동차가 있을 확률은 조건부 확률과 베이즈 정리를 이용하여 계산할 수 있다. $$ P(X=2|Y=1,M=3)={\frac {P(M=3|X=2,Y=1)P(X=2|Y=1)}{P(M=3|Y=1)}}$$ $$={\frac {1\times {\frac 13}}{{\frac 12}\times {\frac 13}+1\times {\frac 13}+0\times {\frac 13}}}={\frac 23}$$ 풀이2
처음 선택한 번호를 바꾸지 않았을 때 당첨 될 확률을 구해보자. 즉 참가자는 처음 선택을 계속 유지하며 게임이 끝나게 된다. 따라서 이 참가자가 자동차를 타기 위해서는 처음부터 자동차가 있는 문을 선택하여야 한다. 따라서 당첨 될 확률은 $\frac{1}{3}$이 된다.

정답 처음 선택을 바꾸는 것이 유리하다.

직접해보기

아래 실험파일을 열어서 다음을 실험해보자.
  1. 한번게임을 클릭하여 실제 몬티홀 문제에 대한 답을 해보고 당첨인지 꽝인지 확인해보자.
  2. 한번게임을 계속 해보자. 이때 결정을 유지하기도 하고 변경하기도 하면서 각각 당첨될 확률을 표에서 확인해보자.
  3. 이제 여러번게임을 클릭하여 몬티홀 문제를 자동으로 여러번 진행하도록 해보자. 이때 계산된 당첨율과 위에서 구한 이론값을 비교해보자.

실험파일(Click)