확률과 통계 내가 직접 만들어 보는 확률과 통계

조건부 확률 조건부 확률의 정의

조건부확률을 이용하여 두 사건 $A,B$가 동시에 일어날 확률을 구해 보자.

사건 $A$가 일어났을 때의 사건 $B$의 조건부확률은 $$ P(B~|~A)= \frac{P(A \cap B)}{P(A)}~~(단, P(A)>0) $$ 이다. 이 식의 양변에 $P(A)$를 곱하면 $$P(A \cap B)=P(A)P(B~|~A)$$ 이다. 또 같은 방법으로 $$P(A \cap B)=P(B)P(A~|~B)~~(단,P(B)>0)$$ 이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

고등학교 확률과 통계 P.112 (천재교육, 이준열외 9인)

이항분포와 정규분포의 관계

두 사건 $A,B$가 동시에 일어날 확률은 $$P(A \cap B)=P(A)P(B~|~A)=P(B)P(A~|~B)~~(단,P(A)>0 , P(B)>0)$$

문제 풀어보기

흰 구슬 5개와 검은 구슬 3개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 2개의 구슬을 차례대로 꺼낼 때, 첫 번째에는 흰 구슬을, 두 번째에는 검은 구슬을 뽑을 확률을 구하여라. (단, 꺼낸 구슬은 다시 넣지 않는다.)

풀이(Click)

흰 구슬을 뽑는 사건을 $A$, 검은 구슬을 뽑는 사건을 $B$라고 하면
첫 번째에서 흰 구슬을 뽑을 확률은 $P(A)=\frac{5}{8}$
첫 번째에서 흰 구슬을 뽑았을 때, 두 번째에서 검은 구슬을 뽑을 확률은 $$ P(B~|~A)=\frac{3}{7} $$ 따라서 구하는 확률은 $$P(A \cap B)=P(A)P(B~|~A)= \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{56} $$

정답 $\frac{15}{56}$

고등학교 확률과 통계 P.112 (천재교육, 이준열외 9인)

실험해보기

    아래 실험파일을 실행하여 아래의 문제를 해결해보자.
  1. 500번을 실험하였을 때, 첫 번째에서 흰 구슬이 몇 번 뽑히는지 확인해보자.
  2. 500번을 실험하였을 때, 첫 번째에서 흰 구슬이 뽑히고 두 번째에서 검은 구슬이 뽑히는 횟수를 구해보자.
  3. 위 2번 결과를 1번 결과로 나눈 값을 계산해보자. 이 값과 앞선 문제의 답과 비교해보자.
  4. 실험 횟수를 바꾸면서 결과를 확인해보자.
  5. 흰 구슬과 검은 구슬의 개수를 바꾸면서 결과를 관찰해보자.
실험파일(Click)