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이항분포와 정규분포 이항분포와 정규분포의 관계

이항분포 $B(n,p)$의 그래프는 $p$ 가 일정할 때, $n$의 값이 커짐에 따라 점점 정규분포 $$ N(np,npq) ~(q=1-p)$$ 의 정규분포곡선에 가까워진다는 사실이 알려져 있다.

따라서 이항분포와 정규분포 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

이항분포와 정규분포의 관계

확률변수 $X$가 이항분포 $B(n,p)$를 따를 때, $n$이 충분히 크면 정규분포 $ N(np,npq)$를 따른다. (단, $q=1-p$)

다음 파일을 이용하여 이항분포와 정규분포의 그래프를 비교해보자.

실험파일(Click)

문제 풀어보기

어느 도시에서 특정 후보를 지지하는 비율이 40%라고 한다. 이 도시에서 600명을 임의로 뽑을 때, 이 후보를 지지하는 시민이 228명 이상 264명 이하일 확률을 구하여라.

풀이(Click)

600명의 시민 중 특정 후보를 지지하는시민의 수를 확률변수 $X$라고 하면 $X$는 이항분포 $B(600,\frac{2}{5})$를 따른다. 이때, 평균 $m$과 분산 $\sigma ^2$은
$$ m=600 \times \frac{2}{5}=240,~ \sigma^2 =600 \times \frac{2}{5} \times{3}{5} =144$$ 이때, $n=600$이 충분히 크므로 $X$는 근사적으로 정규분포 $N(240,12^2)$을 따른다.
따라서 구하는 확률은 $$\begin{align*} P(228 \le X \le 264) &= P( \frac{228-240}{12} \le Z \le \frac{264-240}{12})\\ &=P(-1 \le Z \le 2)\\ &=P(0 \le Z \le 1) +P(0 \le Z \le 2)\\ &=0.3413+0.4772\\ &=0.8185\\ \end{align*}$$

정답 $0.8185$

고등학교 확률과 통계 (천재교육, 이준열외 9인)

실험해보기

다음 파일은 위의 문제를 실험해보기 위한 파일이다. 위의 문제의 조건대로 입력값을 설정하고 다음을 실행해보자.
  1. 1000번을 실험하였을 때, 시민이 228명 이상 264명 이하가 되는 경우가 몇번이나 발생하는지 실험해보자. 위에서 구한 확률과 비교해보자.
  2. 실험횟수를 바꿔서 이론값과 실험값을 비교해보자.
  3. 지지하는 비율을 바꿔보면서 이론값과 실험값을 비교해보자.
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