확률과 통계 내가 직접 만들어 보는 확률과 통계

이항분포 이항분포의 정의

매 시행에서 어떤 사건 $A$가 일어날 확률이 $p$ 일 때, $n$번의 독립시행에서 사건 $A$가 일어나는 횟수를 확률변수 $X$라 하면 $X$는 $0,1, \cdots ,n$의 값을 가진다.
이때, 독립시행의 확률에서 $X$의 확률질량함수 $p(x)$는 $$\begin{align*} p(x)&= P(X=x)\\ &= _n C_x ~p^x q^{n-x}~ (q=1-p ,~ x=0,1, \cdots ,n)\end{align*}$$ 이므로 확률변수$X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$X$ $0$ $1$ $2$ $\cdots$ $n$ 합계
$p(x)$ $_n C_0 q^n$ $_n C_1 p^1 q^{n-1}$ $_n C_2 p^2 q^{n-2}$ $\cdots$ $_n C_n p^n$ 1
이와 같은 확률질량함수를 가지는 확률분포를 이항분포라고 한다.

이항분포는 시행 횟수 $n$과 매 시행에서 사건이 일어날 확률 $p$에 의하여 정해지므로 $$ \color{red}{ B(n,p)}$$ 로 나타낸다.

문제풀어보기

타율이 0.3인 야구 선수가 네 번 타석에 들어설 때, 적어도 한 번 안타를 칠 확률을 구하여라.

풀이(Click)

네 번의 타석 중에서 안타를 치는 타석의수를 확률변수 $X$라고 하면 각 타석에서 안타를 칠 확률은 0.3이므로 $X$의 확률분포는 이항분포 $B(4,0.3)$을 따른다.
이때, $X$의 확률질량함수 $p(x)$는 $$p(x)=_4C_x 0.3^x 0.7^{4-x}~(x=0,1,2,3,4)$$ 한편, 적어도 한 번 안타를 치는 경우는 $X \ge 1$ 이므로 구하는 확률은 $$\begin{align*} P(X \ge 1) &= 1- P( X<1)\\ &=1-p(0)= 1- _4 C_0 0.3^0 0.7^4 \\ &=1-0.2401=0.7599\\ \end{align*}$$

정답 $0.7599$

고등학교 확률과 통계 p.148 (천재교육, 이준열외 9인)

실험해보기

다음 실험파일은 $n$과 $p$에 따른 이항분포의 그래프를 보여준다. 아래 문제를 실행해보자.
  1. $n,p~$에 따라 확률분포가 어떻게 변하는 지 확인해보자.
  2. 한 개의 주사위를 50번 던져서 5 이상의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 $X$라고 할때, 확률분포의 개형을 확인해보자.
실험파일(Click)