확률과 통계 내가 직접 만들어 보는 확률과 통계

선거의 개표과정에서 찾을 수 있는 확률 The Ballot Theorem

가끔씩 우리는 투표를 하게 된다. 가깝게는 학급의 반장선거에서부터, 아직 투표권은 없지만 국회의원이나 대통령 선거에 투표권을 행사하는 광경을 가끔씩 보게 된다. 선거를 보는 또 하나의 재미는 개표방송인데, 역전에 재역전을 거듭하는 개표의 과정은 손에 땀을 쥐게 한다. 같은 결과라도 한 후보가 계속 이기는 것보다는 순위가 바뀌는 개표의 과정이 더 흥미로울 수밖에 없다. 개표결과가 같더라도 개표의 과정은 여러 가지의 경우가 있을 텐데, 역전이 일어나도록 개표하는 경우와 그렇지 않은 경우, 어느 쪽의 확률이 더 높을까? 이번 시간에는 이처럼 투표의 “개표과정”에서 찾을 수 있는 수학적 원리를 확인해보자.

사진안떠요!

우리가 알고 싶은 것은 다음과 같은 질문이다.

앤(a)과 바바라(b) 두 사람이 후보로 나선 선거를 생각해보자. 투표가 끝났고, 이제 한 장씩 개표하려고 한다. 총 4명이 투표를 했고, 개표결과 앤이 3표, 바바라가 1표를 얻었다. 개표과정에서 앤의 표가 바바라의 표보다 항상 많을 확률은 얼마나 될까?

본격적으로 위 질문에 답하기 위하여 각 개표에서 앤(above, ↗),바바라(below,↘)의 표로 약속하면 개표과정을 좌표평면에 나타낼 수 있다. 예를 들어 문자열로 aabbb로 나타나는 개표과정은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

사진안떠요!

이제 다음 질문에 답해보자.

질문1

앤(a)과 바바라(b) 두 사람이 후보로 나선 선거를 생각해보자. 투표가 끝났고, 이제 한 장씩 개표하려고 한다. 총 4명이 투표를 했고, 개표결과 앤이 3표, 바바라가 1표를 얻었다. 개표과정에서 처음표가 a인 확률은?

풀이(Click)

총 4표 중 3표가 a이므로 확률은 $\frac{3}{4}$이다.

정답$\frac{3}{4}$

처음 표가 $a$라고 하면 그 이후에는 $x$축과 만나거나 혹은 만나지 않는 경우밖에 없다. 따라서 다음이 성립함을 알 수 있다.

처음 표가 $a$인 확률= 처음 표가 $a$이고 이후 $x$축과 만나는 확률 + 처음 표가 $a$이고 이후 $x$축과 만나지 않을 확률

이때 우리가 알고자 하는 확률은 처음 표가 $a$이고 이후 $x$축과 만나지 않을 확률이다. 그런데,처음 표가 $a$이면서 $x$축과 만나는 경우의 수는 처음 표가 $b$인 경우의 수와 같다. (Hint: The Reflection Principle)

따라서 정리하면 다음 사실을 알 수 있다.ㅜㅜㅜ

처음 표가 $a$이고 이후 $x$축과 만나지 않을 확률 = 처음 표가 $a$인 확률 - 처음 표가 $b$인 확률

이제 위의 사실을 수학적으로 정리하면 아래와 같이 표현할 수 있다.

The Ballot Theorem

투표자가 $n$명인 선거에서 두 후보자 W, L이 나왔고, W가 L를 $k$표차로 이겼다고 할 때, W가 항상 표가 많으면서 개표가 끝날 확률은 아래와 같다. $$ \frac{k}{n}$$

나머지 반은 어떻게 생각할까?(셔먼스타인,경문사)

직접해보기

  1. $a$가 6표, $b$가 4표일 때 개표과정에서 항상 $a$가 이기면서 끝날 수학적 확률을 위의 정리를 통해 구해보자.
  2. 다음 파일을 열어서 투표수를 위와 같이 설정하고 시뮬레이션 해보자. 위의 수학적 확률과 실험에서 얻은 통계적 확률을 비교해보자.
  3. $a$와 $b$의 득표수를 바꿔가면서 결과를 확인해보자. 둘의 표차가 클때와 작을 때 a가 항상 이기면서 끝날 확률이 어떻게 변하는지 확인해보자.
실험파일(Click)